не, точно помню что n*(n + 1)*(2n + 1) для целых n>0
Он еще про второй способ упомянул учитывающий что
( n*(n + 1)*(2n + 1) ) / 6 == сумма(n=1 до бесконечности) n^2
но блин из суммы вывести ряд, насколько я знаю, нереально.
1. n(n+1) делится на 2
2. Пусть n - нечетное число. Тогда (n+1) делится на 2, остается доказать, что n(2n+1) делится на 3 для всех нечетных чисел
3. Рассматриваем ряд нечетных чисел (1,3,5,7...). Пронумеруем его в виде (в квадратных скобках идет индекс элемента) (a[k], a[k+1], a[k+2], a[2k], a[2k+1], ....) где k = 3,6,9,...
3а. Для всех a[mk - 2] - (a[1], a[4], a[7]) - верно, что (2a[mk - 2]+1) делится на 3
3б. Для всех a[mk - 1] - (a[2], a[5], a[8]) - верно, что (n)=(a[mk - 1]) делится на 3
3c. Для всех a[mk] - (a[3], a[6], a[9]) - верно, что (n + 1)=(a[mk] + 1) делится на 6
4. Возвращаемся к №2 и доказываем для четных чисел
Написал сумбурно, но общая идея, надеюсь, понятна.
Последний раз редактировалось Аман Ванкуверский 22 янв 2008, 21:51, всего редактировалось 1 раз.
папа Карло писал(а):
сейчас такие вопросы на интерву в мс ты редко от кого услышишь... ибо имхо время этих вопросов прошло... программированием уже не просто гики занимаются а обычные люди которые на это дело как на карьеру смотрят. да и смысла от этих вопросов нет... они не показывают на самом деле как хорошо человек думать умеет. я за все огромную толпу интверву что провел "про выключатели" не помню чтоьы спрашивал... могу спросить про 2+2 но никак про выключатели
Ага, меня тогда даже удивило сильно Ожидал что придется про медведей с выключателями и канализационные люки рассказывать, а ребята начали задавать вполне вменяемые и порой весьма интересные вопросы из реальной жизни.
ОК. Бум считать что просто "повезло" нарваться на гика Ну и первый блин как говорится...
Делимость данного выражения на 6 можно доказать и проще n(n+1)(2n+1) (1)
1. n(n+1) делится на 2. Остается доказать, что (1) делится на 3
2. Аналогично, следующее выражение делится на 3: n(n+1)(n+2) (2)
Один из сомножителей данного выражения всегда делится на 3
3. Сравним выражения (2) и (1). Как указано выше, одно из утверждений а), b) и c) всегда верно
а) n в (2) делится на 3. В этом случае выражение (1) тоже делится на 3
b) (n+1) в (2) делится на 3. В этом случае выражение (1) тоже делится на 3
c) (n+2) в (2) делится на 3. В этом случае n + 2 = 3k
где k - целое число
отсюда n = 3k - 2
Соответственно, 2n+1 = 2*(3k - 2) + 1 = 6k - 3 = 3*(2k - 1)
То есть, 2n+1 и выражение (1) делятся на 3
Таким образом, какое бы из утверждений а), b) или c) не было верным, (1) делится на 3.
На счет этих конкретных вопросов не уверен, но я ВСЕГДА стараюсь задать вопросы на "сообразительность". Если кто-то про этом смотрит на дверь - да ради бога - никого силком не тянут. При чем на вопрос отвечать правильно тоже не обязательно... главное правильный подход к решению нетревиальных задач.
возмощно 3 варианта - n = 3m,3m+1,3m+2 (надеюь не надо обьяснять почему 3 ?)
(1) n=3m.
3m(3m+1)(6m+1).,
Если m делится на 2 то возьмем как 2x -> 6x(6x+1)(12x+1) = 6z.
Если m не делится на 2 то возьмем как 2x+1 -> (6x+3)(6x+4) = 6(6x^2+8x+2)(6x+5) = 6z
(2) n = 3m+1
(3m+1)(3m+2)(6m+3) =(3m+1)(3m+2)(3r)
3r на 3 делится,
теперь если m делится на 2 то и 3m+2 делится на 2
если m не делится на 2 то 3m+1 делится на 2
т.е. мы имеем 2w*3r = 6z
(3) n = 3m+2
(3m+2)(3m+3)(6m+4) = 3*2*(3m+2)(m+1)(3m+2) = 6z.
Последний раз редактировалось spavel 23 янв 2008, 00:12, всего редактировалось 1 раз.
Ага, только еще проще
n может делиться на 3, либо давать остаток 1, либо давать остаток 2.
во втором случае 2n+1 будет делиться на 3, в третьем - n+1
Собственно, spavel именно это и имел ввиду, но использовал больше цифр
Meadie писал(а):
2. Аналогично, следующее выражение делится на 3: n(n+1)(n+2) (2)
Один из сомножителей данного выражения всегда делится на 3
I beg your pardon but откуда это видно?
А то, что n(n + 1) делится на 2 у вас сомнений не вызывает? На всякий случай привожу ссылку, где доказывается эта теорема:
Theorem (Euclid’s Division Theorem) For any integers n and m, m >= 1, there exist
integers q and r, 0 <= r < m, such that n = m q + r. Further, these integers q and r are unique.
For example, n = 13 and m = 3, dividing n by m yields a quotient q = 4 and remainder r = 1,
that is, 13 = 3 • 4 + 1. The proof of this theorem will be given later.
We now give a formal proof of the following obvious fact.
Theorem. Every integer n is either even or odd.
Proof: Using Euclid’s division theorem, dividing n by 2 yields an equation
n = 2 q + r, where 0 <= r < 2.
Thus, either r = 0 or r = 1. In the former case, n = 2 q, which means n is even by definition;
in the latter case, n = 2 q + 1, which means n is odd by definition.
...
Theorem. Let n be an integer. Prove that the expression n (n + 1) is always even.
Proof: Since n is an integer, n is either even or odd by the theorem proved above.
(Case 1) n is even, that is, n = 2 m for some integer m. Thus, n (n + 1) = (2 m) (2 m+1) =
2 (m (2 m +1)), by associative law. Thus, it is even by definition.
(Case 2) n is odd, that is, n = 2 m + 1 for some integer m. Thus, n (n + 1) = (2 m + 1) (2 m +2) =
2 (m + 1) (2 m + 1), by distributive and commutative laws. Thus, it is even by definition.
Я на интервью не задавал вопросов на сообразительность, хотя была мысль придумать парочку и спрашивать. Больше как то интересовался экспиренсом и знаниями кандидата. Ничего против не имею если меня спрашивать будут - это даже забавно ИМХО.
PIX писал(а):Я на интервью не задавал вопросов на сообразительность, хотя была мысль придумать парочку и спрашивать. Больше как то интересовался экспиренсом и знаниями кандидата. Ничего против не имею если меня спрашивать будут - это даже забавно ИМХО.
Обычно такие задачки задают молодые люди, недавно нашедшие их где-нибудь на просторах инета.. Не думаю, что ответы на них серьезно влияют на решение о приеме на работу. И вообще не совсем понятно что лучше: ответить правильно или поразиться ответу, прозвучавшему из уст потенциального босса
ЗЫ: в Виктории исчезло пиво "Innis&Gunn". Совсем. Все раскупили. Как бороться с депрессией ?
spavel писал(а):правильные ответы совсем не влияют. влияет подход.
В задачах подобного типа нет границы между правильным подходом и правильным решением, ибо невозможно заблудиться в пути. Олимпиадного плана вопросы никак не соотносятся со способностью системно мыслить. Вот, скажем, спроектировать кусочек базы данных для хранения какого-то кусочка информации - это будет тест на правильный подход.